题目

题型：云南省模拟题难度：来源：

已知函数，且函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直．
（I）求a的值；
（II）证明：g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立．

答案

解：（I）函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 
∴f′（1）=a
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直
∴f′（1）=1 ∴a=1；
（II）由（I）可得 ，
证明g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立，
即 恒成立
∴只要证明lnx﹣x+1≤0（x＞0）恒成立
构造函数h（x）=lnx﹣x+1（x＞0）
∴ 
令 ，
结合x＞0，可得0＜x＜1，
令 ，结合x＞0，可得x＞1，
∴x=1处有极大值h（1）=0，且为最大值
∴lnx﹣x+1≤0在x∈（0，+∞）内恒成立
∴g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立．