题目

题型：不详难度：来源：

某公司为了实现2013年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案；从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%．现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=

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lnx+1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．（参考数据：1.003⁶⁰⁰≈6，e≈2.70828…，e⁸≈2981）

答案

由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%…（2分）
对于y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5，不满足公司的要求；…（4分）
对于y=1.003^x，易知满足①，∵1.003⁶⁰⁰≈6，故当x＞600时，不满足公司的要求；…（6分）
对于y=

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lnx+1，易知满足①，当x∈[10，1000]时时，y≤

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ln1000+1…（7分）
下面证明

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ln1000+1＜5．
∵e⁸≈2981，
∴

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ln1000+1-5=

1

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ln1000-4=

1

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（ln1000-8）=

1

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（ln1000-ln2981）＜0，满足②…（8分）
再证明

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lnx+1≤x•25%，即2lnx+4-x≤0，…（9分）
设F（x）=2lnx+4-x，则F′（x）=

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x

-1=

2-x

x

＜0，x∈[10，1000]…（10分）
∴F（x）在[10，1000]上为减函数，F（x）_max=F（10）=2ln10+4-10=2ln10-6=2（ln10-3）＜0，满足③…（12分）
综上，奖励模型y=

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lnx+1能完全符合公司的要求…（13分）