题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)(i)设g(x)是f(x)的导函数,证明:当a>2时,在(0,+∞)上恰有一个x0使得g(x0)=0;
(ii)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立.注:e为自然对数的底数.
答案
当f"(x)<0时,x<0;当f"(x)>0时,x>0
所以函数f(x)的减区间是(-∞,0);增区间是(0,+∞)-------------------------(4分)
(2)证明:(ⅰ)g(x)=f"(x)=ex(x-a+1)+(a-1),g"(x)=ex(x-a+2)------------------(5分)
当g"(x)<0时,x<a-2;当g"(x)>0时,x>a-2
因为a>2,所以函数g(x)在(0,a-2)上递减;在(a-2,+∞)上递增-----------------(7分)
又因为g(0)=0,g(a)=ea+a-1>0,
所以在(0,+∞)上恰有一个x0使得g(x0)=0.--------------------------------------------------(9分)
(ⅱ)若a≤2,可得在x∈[0,2]时,g(x)≥0,从而f(x)在[0,2]内单调递增,而f(0)=0,
∴f(x)≥f(0)=0,不符题意.-------------------------------------------------(10分)
∴a>2
由(ⅰ)知f(x)在(0,x0)递减,(x0,+∞)递增,
设f(x)在[0,2]上最大值为M,则M=max{f(0),f(2)},
若对任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立,则
|
由f(2)≤0得(2-a)e2+2a-2+a≤0,∴a≥
2e2-2 |
e2-3 |
4 |
e2-3 |
又f(0)=0,∴a≥
2e2-2 |
e2-3 |
核心考点
试题【设函数f(x)=(x-a)ex+(a-1)x+a,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)(i)设g(x)是f(x)的导函数,证明:当a>2时,在】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意实数α和β,不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立,求m的最小值.
1 |
3 |
1 |
2 |
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在[0,2]上的最大值;
(Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞),有f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
1 |
12 |
1 |
6 |
3 |
2 |
(Ⅰ)若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,试确定实数m的值;
(Ⅱ)若当实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在(a,b)上总为“凸函数”,求b-a的最大值.
(1)求正数a与b的关系;
(2)若a=1,设f(x)=m
x |
(3)证明:1n(n!)>2n-4
n |
1 |
3 |
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