题目

题型：安徽难度：来源：

设函数f(x)=

a

3

x3-

3

2

x2+(a+1)x+1，其中a为实数．
（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

答案

（1）f′（x）=ax²-3x+（a+1）
由于函数f（x）在x=1时取得极值，
所以f′（1）=0
即a-3+a+1=0，∴a=1
（2）由题设知：ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1
对任意a∈（0，+∞）都成立
即a（x²+2）-x²-2x＞0
对任意a∈（0，+∞）都成立
于是a＞

x2+2x

x2+2

对任意a∈（0，+∞）都成立，
即

x2+2x

x2+2

≤0∴-2≤x≤0
于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}．