题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

答案

（1）∵f（x）=ax³+bx²-3x，
∴f"（x）=3ax²+2bx-3，
∵函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，
∴f"（1）=f"（-1）=0…（3分）
即3a+2b-3=3a-2b-3=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x…（6分）
（2）证明：∵f（x）=x³-3x
∴f"（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）…（7分）
当-1＜x＜1时，f"（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数 …（9分）
f（x）_max=f（-1）=2，
f（x）_min=f（1）=-2…（11分）
∴对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|
≤|f（x）_max-f（x）_min|
=2-（-2）=4…（12分）