题目
题型:不详难度:来源:
a |
x-1 |
1 |
e |
(1)求实数a的取值范围;
(2)若x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),求证:f(x2)-f(x1)>e+2-
1 |
e |
答案
求导函数f′(x)=
1 |
x |
a |
(x-1)2 |
x2-(a+2)x+1 |
x(x-1)2 |
∵函数f(x)=lnx+
a |
x-1 |
1 |
e |
∴f′(x)=0在(0,
1 |
e |
∵αβ=1,不妨设0<α<
1 |
e |
∵g(0)=1>0,
∴g(
1 |
e |
1 |
e2 |
a+2 |
e |
∴a>e+
1 |
e |
(2)证明:由f′(x)>0,可得0<x<α或x>β;由f′(x)<0,可得α<x<1或1<x<β
∴f(x)在(0,α)内递增,在(α,1)内递减,在(1,β)内递减,在(β,+∞)递增
由x1∈(0,1),可得f(x1)≤f(α)=lnα+
a |
α-1 |
由x2∈(1,+∞),可得f(x2)≥f(β)=lnβ+
a |
β-1 |
∴f(x2)-f(x1)≥f(β)-f(α)
∵αβ=1,α+β=a+2
∴f(β)-f(α )=2lnβ+a×
α-β |
(β-1)(α-1) |
| ||
2-(a+2) |
1 |
β |
记h(β)=2lnβ+β -
1 |
β |
则h′(β)=
2 |
β |
1 |
β2 |
∴h(β)>h(e)=e+2-
1 |
e |
∴f(x2)-f(x1)>e+2-
1 |
e |
核心考点
试题【设函数f(x)=lnx+ax-1在(0,1e)内有极值.(1)求实数a的取值范围;(2)若x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),求证:f(x2)-f(x1)>e】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求
lim |
x→0 |
f(x)-6 |
x |
(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
(I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;
(II)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x)2)(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.
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