已知函数f（x）=lnx+ax．
（I）若对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（II）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x）2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=k成立． |
（I）对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即对一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，∴a≤-
令g（x）=-，则g′(x)=
令g′（x）＜0，可得0＜x＜e2；令g′（x）＞0，可得x＞e2，
∴x=e2时，g（x）取得最小值g（e2）=-
∴a≤-；
（II）证明：由题意，k==+a
要证明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=k成立，只要证明f′（x）-k=0在（x1，x2）内有解即可
令h（x）=f′（x）-k=-，只要证明h（x）在（x1，x2）内存在零点即可
∵h（x）在（x1，x2）内是减函数，只要证明h（x1）＞0，h（x2）＜0
即证-1-ln＞0，-1-ln＞0
令F（t）=t-1-lnt（t＞0），∵F′（t）=1-，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴函数在t=1时，取得最小值0，∴F（t）≥0
∵＞0且≠1；＞0且≠1
∴-1-ln＞0，-1-ln＞0
∴结论成立． |
核心考点
试题【已知函数f（x）=lnx+ax．（I）若对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（II）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2】；主要考察你对
函数极值与最值等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 曲线y=x3-6x2-x+6的斜率最小的切线方程为______． |
| 曲线y=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则此切线方程为______． |
| 已知函数f(x)=x-sinx-cosx的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=______． |
| （选作）函数f（x）=x3-ax2+x在x=1处的切线与直线y=2x平行，则a的值为（ ） |
已知函数f（x）=2lnx与g（x）=a2x2+ax+1（a＞0）
（1）设直线x=1与曲线y=f（x）和y=g（x）分别相交于点P，Q，且曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行，求实数a的值；
（2）f′（x）为f（x）的导函数，若对于任意的x∈（0，+∞），e-mx≥0恒成立，求实数m的最大值；
（3）在（2）的条件下且当a取m最大值的倍时，当x∈[1，e]时，若函数h（x）=f（x）-kf′（x）的最小值恰为g（x）的最小值，求实数k的值． |
