题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，则函数f（x）的各极大值之和为（　　）

A． eπ(1-e2012π) 1-e2π	B． eπ(1-e1006π) 1-eπ
C． eπ(1-e1006π) 1-e2π	D． eπ(1-e2012π) 1-eπ

答案

因为函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
所以f"（x）=（e^x）"（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）"=2e^xsinx，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数递减．
故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π．
又0≤x≤2011π，
∴函数f（x）的各极大值之和S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2009π=

eπ[1-(e2π) 1005]

1-e2π

=

eπ(1-e2010π)

1-e2π

．
故选：A．