题目
题型:不详难度:来源:
(1)求a的值;
(2)若对0≤x≤3,不等式g(x)≤m-8ln2成立,求m的取值范围;
(3)已知△ABC的三个顶点A,B,C都在函数f(x)的图象上,且横坐标依次成等差数列,讨论△ABC是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.
答案
g′(x)=2x-(a-1)-
a |
1+x |
a+1 |
x |
由于g(x)在x=1处取得极值,有g′(1)=0,所以a=8.
(2)g(x)=x2-7x-8ln(1+x)+9lnx(x>0)
g′(x)=2x-7-
8 |
1+x |
9 |
x |
(x-1)(x-3)(2x+3) |
x(x+1) |
由g′(x)=0,得x=1或x=3
函数g(x)增区间(0,1),减区间(1,3),
所以函数g(x)在x=1处取得极大值且g(x)max=g(1)=-6-8ln2
不等式m-8ln2≥g(x),对0≤x≤3成立,等价于m-8ln2≥g(x)max成立
∴m≥-6
(3)设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).C(x3,f(x3)),且x1<x2<x3,x2=
x1+x3 |
2 |
f′(x)=
8ex |
1+ex |
-9-ex |
1+ex |
∴f(x1)>f(x2)>f(x3),
∴
BA |
BC |
∴
BA |
BC |
所以B为钝角,△ABC是钝角三角形.
若△ABC是等腰三角形,则只能是|
BA |
BC |
即(x1-x2)2+[f(x1)-f(x2)]2=(x3-x2)2+[f(x3)-f(x2)]2
∵x2=
x1+x3 |
2 |
f(x1)-f(x2)≠f(x3)-f(x2)f(x1)-f(x2)=f(x2)-f(x3)
∴f(
x1+x3 |
2 |
f(x1)+f(x3) |
2 |
由f(x)=8ln(1+ex)-9x,f(x1)+f(x2)-2f(
x1+x2 |
2 |
=8[ln(1+ex1)(1+ex1)-ln(1+e
x1+x2 |
2 |
=8[ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e
x1+x2 |
2 |
∵x1≠x2∴ex1+ex2>2
ex1•ex2 |
x1+x2 |
2 |
∴1+ex1+ex2+ex1+x2>1+2e
x1+x2 |
2 |
∴f(x1)+f(x2)-2f(
x1+x2 |
2 |
∴f(
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
故△ABC是钝角三角形,但不可能是等腰三角形.
核心考点
试题【已知函数f(x)=aln(ex+1)-(a+1)x,g(x)=x2-(a-1)x-f(lnx),a∈R,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)若对】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.一个极大值,一个极小值 |
B.一个极大值,两个极小值 |
C.两个极大值,一个极小值 |
D.两个极大值,两个极小值 |
1 |
3 |
a |
2 |
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
a |
x-2 |
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