题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．

答案

（1）f（x）=x³+ax²+x+1求导：f"（x）=3x²+2ax+1
当a²≤3时，△≤0，f"（x）≥0，f（x）在R上递增
当a²＞3，f"（x）=0求得两根为x=

-a± a2-3

3

即f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)递增，(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)递减，(

-a+ a2-3

3

，+∞)递增
（2）f"（x）=3x²+2ax+1≤0在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即2a≥

-1-3x2

x

在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知

-1-3x2

x

在(-

2

3

，-

3

3

)上为减函数，在(-

3

3

，-

1

3

)上为增函数．

-1-3x2

x

＜4．
所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．