已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f"（x），其中a是正实数．
（1）若当1≤x≤e时，函数f（x）有最大值-4，求函数f（x）的表达式；
（2）求a的取值范围，使得函数g（x）在区间（0，+∞）上是单调函数． |
（1）f′(x)=-a，由得0＜x＜∴f(x)在(0，]上单调递增，在[，+∞)单调递减，（3分）
若x∈（0，+∞），则当x=时，f（x）取得最大值．
由条件1≤x≤e，所以
①当1≤≤e，即≤a≤1时，fmax(x)=f()=-4，∴a=e3＞1不可能；
②当0＜＜1即a＞1时，由单调性可知fmax（x）=f（1）=-4，∴a=4＞1满足条件；
③当＞e即0＜a＜时，由单调性可知fmax（x）=f（e）=-4，∴a=＞也不可能．
综上可知a=4，进而f（x）=lnx-4x（7分）
（2）g(x)=lnx-ax+-a∴g′(x)=-a-=-(-)2+-a（9分）
当，即a≥时，g"（x）≤0恒成立，且只有x=2时g"（x）=0，
所以a≥时，函数g（x）在区间（0，+∞）上单调．
因为所求a的取值范围是[，+∞)． （12分） |
核心考点
试题【已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f"（x），其中a是正实数．（1）若当1≤x≤e时，函数f（x）有最大值-4，求函数f（x）的表达式；（2）】；主要考察你对
函数的单调性与导数等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 函数f（x）=lnx-x的单调减区间是______． |
| 记具有如下性质的函数的集合为M：对任意的x1、x2∈R，若x12＜x22，则f（x1）＜f（x2），现给定函数①y=ln（|x|+1）②y=x2ex③y=x4+x3+1④y=x2+cosx则上述函数中，属于集合M的函数序号是______． |
| 设f（x）=x-lnx，则此函数在区间（0，1）内为（ ） |
已知a，b∈R，0＜b＜a＜e，其中e是自然对数的底数．
（1）试猜想ab与ba的大小关系；
（2）证明你的结论． |
已知函数f（x）=x3-3x；
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-3，2]上的最值． |
