题目

题型：不详难度：来源：

如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．

（1）求证：MN⊥AD；
（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．

答案

（1）详见解析，（2）

解析

试题分析：（1）首先表示正四棱锥各点坐标，再准确把垂直关系的判定转化为对应向量数量积为零，利用坐标形式进行计算，（2）直线与平面所成的角的计算，关键仍是平面的法向量的计算.利用向量垂直列出方程组，可解出法向量；再利用数量积，根据法向量与直线方向向量的余弦值的绝对值求直线与平面所成角的正弦值. 由于直线与平面所成角与法向量与直线方向向量的夹角不是相等或互补关系，而是互余或相差因此直线与平面所成角的正弦值等于法向量与直线方向向量的余弦值的绝对值，这是本题易错点.
试题解析：（1）因为正四棱锥的侧棱长与底边长都为.
     2分
则

则     4分

     5分
（2）设平面的法向量为

由得
取得
     7分
则     9分
设与平面所成角为
则
所以与平面所成角的正弦值为     10分