设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值． |
解 （1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=-a=．
因为当x=1时，函数f（x）取得极值，
所以f′（1）=1-a=0，解得a=1．
经检验，a=1符合题意．
（2）f′（x）=-a=，x＞0．
令f′（x）=0得x=．因为x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，
①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=-a；
②当1＜＜2，即＜a＜1时，f（x）在（1，）上递增，在（ ，2）上递减，
所以x=时，f（x）取最大值f（）=-lna-1；
③当≥2，即0＜a≤时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a；
综上，①当0＜a≤时，f（x）最大值为ln2-2a；②当＜a＜1时，f（x）最大值为-lna-1．
③当a≥1时，f（x）最大值为-a． |
核心考点
试题【设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值．】；主要考察你对
函数的单调性与导数等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 函数y=x-ln（x+1）的单调递减区间为______． |
| 函数y=（x+2）ln（x+2）的单调递减区间是______． |
| 设函数y=f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P点，曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0．若函数在x=2处取得极值0，则函数的单调减区间为______． |
已知函数f(x)=的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由． |
已知函数f（x）=kx3-x2+x-5在R上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）| A．(，+∞) | B．[，+∞) | C．(0，) | D．(0，] |
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