题目
题型:期末题难度:来源:
(Ⅰ)若E、F为AC的三等分点,求证:∠ADE= ∠CBF;
(Ⅱ)若M是DC上一点,且DM=2,求DN+MN的最小值;(注:计算时可使用如下定理:在直角△ABC中,若∠C=90°,则AB2=AC2+BC2)
(Ⅲ)若点P在射线BC上,且NB=NP,求证:NP⊥ND。
答案
解:(Ⅰ)∵E、F为AC的三等分点,
∴AE=AC,CF=AC
∴AE=CF.
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∵∠BAC= ∠BCA=45°.
同理∠DAC=45 °.
∴∠BCA= ∠DAC.
∵△ASC≌△CDA,
∴CB=AD.
∴在△ADE和△CBF中,
AE=CF,∠DAE= ∠BCF,AD=CB,
∴△ADE≌△CBF(SAS)
∴∠ADE= ∠CBF;
(Ⅱ)∵D、B关于AC对称,所以当B、N、M在一直线上时,DN+MN最小
∵AB=8,DM=2,
∴CM=6
在Rt △MCB中,∠MCB=90°,CM=6,BC=8,
根据题中定理可求出BM=10
∴DN+MN最小值为10
(Ⅲ)①当点P在线段BC上(P与B、C不重合)时,
∵NB=NP
∴∠NBP= ∠NPB
∵D、B关于AC对称,
∴∠NBP= ∠NDC
∴∠NPB+ ∠NPC= ∠NDC+ ∠NPC=180 °.
∴∠DNP=360 °- (∠BCD+ ∠NDC+ ∠NPC)=90°
∴NP⊥ND
②当点P与点C重合时,点N恰好在AC的中点处,
∵∠NDC= ∠NCD=45°
∴∠DNC=90°
∴NP⊥ND
③当点P在BC延长线上时,
∵NB=NP
∴∠NBP= ∠NPB
∴D、B关于AC对称, ∠NBP= ∠NDC
∴∠NPC= ∠NDC
∵∠DHN= ∠CHP,
∴∠DNP= ∠DCP=90°
∴NP⊥ND。
核心考点
试题【如图,把两个全等的腰长为8 的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD,N是斜边AC上一动点。(Ⅰ)若E、F为AC的三等分点,求证:∠ADE= ∠CBF】;主要考察你对轴对称等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)判断△BDF的形状,并说明理由;
(2)求重合部分△BDF的面积。
(1)求出△ABC的面积;
(2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(3)写出点A1,B1,C1的坐标。
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