题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.
答案
由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以f′(x)>0,…(5分)
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(6分)
(2)由(1)可知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,
故函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.…(7分)
所以,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增.
所以fmin=f(0)=1,fmax=max{f(-1),f(1)}.…(9分)
f(-1)=
1 |
a |
f(1)-f(-1)=a-
1 |
a |
记g(x)=x-
1 |
x |
1 |
x2 |
2 |
x |
1 |
x |
1 |
x |
故f(1)-f(-1)=a-
1 |
a |
所以f(1)>f(-1),于是fmax=f(1)=a+1-lna.(12分)
故对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-lna,所以a-lna≤e-1,所以1<a≤e.…(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1.(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
lnx+k |
ex |
(1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间.
(1)若函数f(x)在(
1 |
2 |
1 |
4 |
(2)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围.
A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
A.在区间(-3,1)内f(x)是增函数 |
B.在x=2时f(x)取得极大值 |
C.在(4,5)内f(x)是增函数 |
D.在x=2时f(x)取到极小值 |
(I)求函数f(x)的表达式;
(II)设函数g(x)=xf(x),求g(x)的极值;
(III)设函数h(x)=g(x)+x-k,当h(x)存在3个零点时,求实数k的取值范围.
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