题目
题型:不详难度:来源:
(1)求实数a的值组成的集合A;
(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)f'(x)== ,
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,∴f'(x)≤0对x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. ①
设(x)=x2-ax-2,
① -1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}. -6分
(2)由=,得x2-ax-2=0, ∵△=a2+8>0
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两实根,
∴从而|x1-x2|==.
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3. 10分
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
(方法一:)
②m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}. --14分
(注:方法二: 当m=0时,②显然不成立; 当m≠0时,
② 或 m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.)
点评:难题,在某区间,导函数值非负,则函数为增函数;导函数值非正,则函数为减函数。通过研究函数的图象和性质,进一步研究方程有实根的情况,这是函数与方程思想的灵活应用。不等式恒成立问题,一般的要转化成求函数的最值问题。
核心考点
试题【已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.(1)求实数a的值组成的集合A;(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若函数有极大值32,求实数的值;
(Ⅱ)若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上恒有成立,求的取值范围
(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若函数在处取得极值,不等式对恒成立,求实数的取值范围。
最新试题
- 1When I left the island last night,_______ word came that ___
- 2在△ABC中,“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C
- 3为了纪念红一方面军胜利到达陕北72周年 ,某校组织共青团团员开展以“红色旅游——重走长征路”为主题的夏令营活动,他们不可
- 4—Jack, is maths difficult to learn in High school? —Sure. N
- 5【题文】设,(1)若为偶函数,求实数的值; (2)记的最小值为,求的表达式.
- 6(1)仔细观察以下漫画,用不超过100字的文字简要介绍漫画内容。____________________________
- 7如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于E点,
- 825℃时不断将水滴入0.1mol/L的氨水中,下列图像变化合理的是
- 9仔细观察下面的五幅图,回答图后的问题:(1)以上五种动物的共同特征是身体内有______.(2)图中的青蛙的发育方式是_
- 10下列属于天然高分子化合物的是( )A.油脂B.蔗糖C.聚乙烯D.淀粉
热门考点
- 1狼和兔相比,牙齿最大的不同之处是狼的牙齿( )A.具有门齿,适用切断食物B.具有犬齿,适用撕裂食物C.具有臼齿,适用于
- 2(1)写出下列反应的化学方程式,并指出反应①和③的基本类型: ①铁丝在氧气中燃烧
- 3短周期主族元素R的族序数是其周期序数的2倍,R在其最高价氧化物中的质量分数为40%,并且R原子核内的质子数与中子数相等.
- 4对于给定的正数K和R上的函数f(x),定义R上的函数fk(x):fk(x)=f(x) f(x)≤kk f(
- 5中央与地方的关系一直是历史学界讨论的重点话题。阅读材料,结合所学知识回答问题。【材料一】从这两千年的历史中,我们可以对以
- 6将下列句子译成英语。1. 多么冷的天气啊! How _______________________! 2. 如
- 7下列说法正确的是( )A.按系统命名法, 的名称为2,5,6-三甲基-4-乙基庚烷B.常压下,正戊烷、异戊烷、新戊烷的
- 8-__________-His name is Mike.[ ]A. How are you?B. What"s
- 9臭氧(O3)能吸收大部分紫外线,保护地球生物.臭氧(O3)属于( )A.单质B.有机化合物C.无机化合物D.混合物
- 10给出四个命题:(1)函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;(2)函数在闭区间上的最大值一定是极大值;(3)对于,若,则无