题目
题型:不详难度:来源:
(1)讨论的单调性;
(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,设,。是否存在实常数,既使又使对一切恒成立?若存在,试找出的一个值,并证明;若不存在,说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)首先求导函数,然后对参数进行分类讨论的单调性;(2)根据函数的解析式可将问题转化为的最大值,再利用导数研究函数单调性来确定其最值;(3)假设存在,将问题转化为证明:及成立,然后可考虑综合法与分析法进行证明.
试题解析:(1)定义域为,
①当时,,在定义域上单增;
②当时,当时,,单增;当时,,单减.
增区间:,减区间:.
综上可知:当时,增区间,无减区间;当时,增区间:,减区间:.
(2)对任意恒成立
,令,
,在上单增,
,,故的取值范围为.
(3)存在,如等.下面证明:
及成立.
①先证,注意,
这只要证(*)即可,
容易证明对恒成立(这里证略),取即可得上式成立.
让分别代入(*)式再相加即证:,
于是.
②再证,
法一:
,
只须证,构造证明函数不等式:,
令,,
当时,在上单调递减,
又当时,恒有,即恒成立.
,取,则有,
让分别代入上式再相加即证:
,
即证.
法二:,
,
又故不等式成立.
(注意:此题也可用数学归纳法!).
核心考点
试题【函数,其中为实常数。(1)讨论的单调性;(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围;(3)若,设,。是否存在实常数,既使又使对一切恒成立?若存在,试找出的一个值,】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
① 在区间上是增函数;
② 是的极小值点;
③ 在区间上是减函数,在区间上是增函数;
④ 是的极小值点.其中正确的结论是
A.①②③ |
B.②③ |
C.③④ |
D.①③④ |
(1)若是的极值点,求及在上的最大值;
(2)若函数是上的单调递增函数,求实数的取值范围.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值.
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