题目

题型：专项题难度：来源：

已知函数f（x）=x²+2x。
（1）数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=，求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足b₁=t>0，b_n+1=f（b_n）（n∈N*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）设，数列{c_n}的前n项和为S_n，若不等式λ＜S_n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围。

答案

解：（1）f"（x）=2x+2
∴
∴
{a_n+2}为等比数列
∴
∴。
（2）由已知，得
∴
又lg（b₁+1）=lg（t+1）≠0，
所以{lg（b_n+1）}是公比为2的等比数列
∴。
（3）∵
∴
，k=1，2，…，n．
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n


∵t>0，
∴t+1>1，
∴S_n在n∈[1，+∞）上是增函数，
∴
又不等式λ＜S_n对所有的正整数n恒成立，
故λ的取值范围是。