题目

题型：不详难度：来源：

如图所示的n×n的数表，满足每一行都是公差为d的等差数列，每一列都是公比为q的等比数列．已知a₁₁=a，则a₁₁+a₂₂+…+a_nn=______．

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a11a12… a1n a21a22… a2n •        •  …  • •        •  …   • •        •  …   • an1an2 …  ann

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答案

由题意n×n的数表，满足每一行都是公差为d的等差数列，每一列都是公比为q的等比数列．已知a₁₁=a，
数表为

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a    a+d… a +(n-1)d aq   aq +d … aq+(n-1)d aq2  aq2+d   … aq2+(n-1)d •        •  … • •        •  … • aqn-1 aqn-1+d … aqn-1+(n-1)d

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或

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a    a+d… a +(n-1)d aq   (a+d)q … [a+(n-1)d]q aq2 (a+d)q2 … [a +(n-1)d]q2 •        •  … • •        •  … • aqn-1(a+d)qn-1… [a+(n-1)d]qn-1

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所以：a_kk=[a+（k-1）d]q^k-1=aq^k-1+（k-1）dq^k-1，
又∵a_kk=aq^k-1+（k-1）d，
所以aq^k-1+（k-1）d=aq^k-1+（k-1）dq^k-1，
∴d=0或q=1．
当d=0时，a₁₁+a₂₂+…+a_nn=a+aq+aq²+…+aq^n-1=

na        (q=1) a(1-q2) 1-q    (q≠1)

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q=1时，a₁₁+a₂₂+…+a_nn=a+（a+d）+（a+2d）+…+[a+（n-1）d]=na+

n(n-1)

2

d．
所以a₁₁+a₂₂+…+a_nn=

na+ n(n-1) 2 d      (q=1) a(1-q2) 1-q (q≠1)

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故答案为：

na+ n(n-1) 2 d      (q=1) a(1-q2) 1-q (q≠1)

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