题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+m-2），其中x∈[1，2]，a＞0且a≠1，m∈R．
（I）当m=4时，若函数F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，求a的值；
（Ⅱ）当0＜a＜l时，f（x）≥2g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（I）由题意，m=4时，F（x）=f（x）+g（x）=log_ax+log_a（2x+2）=loga(2x2+2x)，
又x∈[1，2]，则2x²+2x∈[4，12]．
而函数F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，
∴a＞1，解得a=2；
（Ⅱ）由题意，0＜a＜1时，∵f（x）≥2g（x），
∴

1≤x≤2 2x+m-2＞0 logax≥loga(2x+m-2)2

⇒

1≤x≤2 m＞2-2x x≤(2x+m-2)2

，
⇒

1≤x≤2 m＞0 4x2+(4m-9)x+(m-2)2≥0

，
令h（x）=4x²+（4m-9）x+（m-2）²=4[x-（

9

8

-

m

2

）]²+（m-2）²-

(9-4m)2

16

，
（1）当0＜m＜

1

4

时，1＜

9

8

-

m

2

＜

9

8

＜2，
函数h（x）min=（m-2）²-

(9-4m)2

16

≥0，
解得m无解；
（2）当m≥

1

4

时，函数h（x）在x∈[1，2]上的单调递减，
则h（x）_min=h（1）=m²-1≥0⇒m≥1．
综上，实数m的取值范围为[1，+∞）．