题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

f(x)=-

1

2

x2+

13

2

在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．

答案

（1）因为f（x）对称轴为x=0
若0≤a＜b，则f（x）在[a，b]上单调递减，
所以f（a）=2b，f（b）=2a，
于是

2b=- 1 2 a2+ 13 2 2a=- 1 2 b2+ 13 2

，
解得[a，b]=[1，3]．
（2）若a＜b≤0，则f（x）在[a，b]上单调递增，
所以f（a）=2a，f（b）=2b，
于是

2a=- 1 2 a2+ 13 2 2b=- 1 2 b2+ 13 2

，方程两根异号，
故不存在满足a＜b≤0的a，b．
（3）若a＜0＜b，则f（x）在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，
所以2b=

13

2

⇒b=

13

4

．
所以f(b)=-

1

2

•(

13

4

)2+

13

2

=

19

32

＞0，
又a＜0，所以2a≠

19

32

，
故f（x）在x=a处取得最小值2a，即2a=-

1

2

a2+

13

2

，得a=-2-

17

，
所以[a，b]=[-2-

17

，

13

4

]．
综上所述，[a，b]=[1，3]或[-2-

17

，

13

4

]．