题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=cos²x+θcosx+sinθ，x∈[-

2π

3

，

π

6

]，是否存在θ∈[-

π

2

，

π

2

]，使得f（x）的最小值是-

1

2

-cos（θ+

5π

2

），若存在，试求出θ，若不存在，说明理由．

答案

设cosx=t则f（x）=y=t²+θt+sinθ，t∈[-

1

2

，1]
y=t²+θt+sinθ开口向上，对称轴t=-

θ

2

，-

θ

2

∈[-

π

4

，

π

4

]
1当-

θ

2

∈[-

1

2

，

π

4

]即-

π

2

≤θ≤1时
y_min=y（-

θ

2

）=

θ2

4

-

θ2

2

+sinθ=-

θ2

4

+sinθ
由-

θ2

4

+sinθ=-

1

2

-cos（θ+

5π

2

）=-

1

2

+sinθ⇒θ²=2⇒θ=±

2

又-

π

2

≤θ1∴此时θ=-

2

2当-

θ

2

∈[-

π

4

，-

1

2

]，即1＜θ≤

π

2

时，
y关于t的函数在[-

1

2

，1]上是增函数
y_min=y（-

1

2

）=

1

4

-

1

2

θ+sinθ
-

π

8

，

π

8

，

3

8

π，

5

8

π，

7π

8

由

1

4

-

1

2

θ+sinθ=-

1

2

-cos（θ+

5

2

π）
⇒

1

2

θ=

3

4

⇒θ-

3

2

∈（1，

π

2

）合题意
∴存在θ=-

2

，或θ=

3

2

．