题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,求f(x)≤1的解集;
(Ⅱ)当f(1)=f(3)=0,且当x∈(1,3)时,f(x)≤1恒成立,求实数a的最小值.
答案
则f(x)≤1即x2-2x-3≥0,
∴(x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1,或x≥3.
所以不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤-1,或x≥3};
(Ⅱ)因为f(1)=f(3)=0,
所以f(x)=a(x-1)(x-3),f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒成立,即-a≤
1 |
(x-1)(3-x) |
而0<(x-1)(3-x)≤[
(x-1)+(3-x) |
2 |
∴
1 |
(x-1)(3-x) |
所以-a≤1,即a≥-1.
所以a的最小值是-1;
(Ⅱ)或f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒成立,
即a(x-1)(x-3)-1≤0在x∈(1,3)恒成立.
令g(x)=a(x-1)(x-3)-1=ax2-4ax+3a-1=a(x-2)2-a-1.
①当a=0时,g(x)=-1<0在x∈(1,3)上恒成立,符合;
②当a>0时,易知在x∈(1,3)上恒成立,符合;
③当a<0时,则-a-1≤0,所以-1≤a<0.
综上所述,a≥-1
所以a的最小值是-1.
核心考点
试题【已知f(x)=ax2+bx+c.(Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,求f(x)≤1的解集;(Ⅱ)当f(1)=f(3)=0,且当x∈(1,3)时,f(x)≤1恒成】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.f(2)<f(1)<f(4) | B.f(1)<f(4)<f(2) | C.f(2)<f(4)<f(1) | D.f(4)<f(1)<f(2) |
(1)求a,b的值;
(2)求满足f(x)≤0的x的集合A.
1 |
3 |
(1)求g(a)的解析式;
(2)判断g(a)单调性,求g(a)的最小值.
①函数f(x)的值域为[-2,+∞);
②任意x∈R,恒有f(-1+x)=f(-1-x)成立.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设F(x)=f(-x)-kf(x),若F(x)在[-2,2]上是减函数,求实数k的取值范围.
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