题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

1

3

≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），设g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）判断g（a）单调性，求g（a）的最小值．

答案

（1）当

1

3

≤a≤

1

2

时N（a）=f（

1

a

），M（a）=f（1），
此时g（a）=f（1）-f（

1

a

）=a+

1

a

-2；
当

1

2

＜a≤1时N（a）=f（

1

a

），M（a）=f（3），
此时g（a）=f（3）-f（

1

a

）=9a+

1

a

-6；
∴g（a）=

a+ 1 a -2         1 3 ≤ a≤ 1 2 9a+ 1 a -6    1 2 ＜a≤1

      …（6分）
（2）当

1

3

≤a≤

1

2

时，∵g（a）=a+

1

a

-2，∴g′（a）=1-

1

a2

＜0，
∴g（a）在[

1

3

，

1

2

]上单调递减．
同理可知g（a）在（

1

2

，1]上单调递增
∴g（a）_min=g（

1

2

）=

1

2

．…（12分）