题目

题型：专项题难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP=2PQ

答案

证明：∵△ABC是等边三角形
           ∴AB=AC=BC   （等边三角形的各边都相等） 
               ∠ACB=∠ABC=60°  （等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°）
             又∵AE=CD
          ∴BD=CE
          在△ABD与△BCE中 BD=CE  ∠ACB=∠ABC  AB=BC
           ∴△ABD≌△BCE   （两边及夹角对应相等的两个三角形全等）
           ∴∠BAD=∠CBE    （全等三角形的对应角相等）
            ∴∠PBA+∠BAP=∠CBA=60°
           又∵∠BPQ=∠APE ∠APE是△ABP的外角
             ∴∠BPQ=∠APE=∠PBA+∠BAP=60°  
              在Rt△BPQ中∠BPQ=60°
              ∴∠PBQ=30°  
           ∴BP=2PQ（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）