题目

题型：青岛一模难度：来源：

如图所示，在直角坐标系 xoy 的第一象限内存在沿 y 轴负方向、场强为 E 的匀强电场，在第四象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场，在磁场与电场分界线的 x 轴上有一无限大的薄隔离层．一质量为 m、电量为+q、初速度为零的带电粒子，从坐标为（ x ₀，y ₀）的 P 点开始被电场加速，经隔离层垂直进入磁场，粒子每次穿越隔离层的时间极短，且运动方向不变，其穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍（ k＜1）．不计带电粒子所受重力．求：
（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径 R ₁；
（2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标  y₁；
（3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间  t；
（4）若带电粒子第四次穿越隔离层时刚好到达坐标原点 O，则 P 点横坐标 x₀与纵坐标 y₀应满足的关系．

答案

（1）第一次到达隔离层时速度为v₀
qEy_o=

1

2

mv_o²，v₀=

2qEy0 m

第一次穿越隔离层后速度为v₁=k

2qEy0 m

由qv₁B=m

v12

R1

，得第一次在磁场中做圆周运动半径为 R₁=

mv1

qB

=

2k2mEy0 qB2

（2）第二次穿越隔离层后速度为v₂=k²

2qEy0 m

-qEy₁=0-

1

2

mv₂²，得y₁=k⁴y₀
（3）由y_o=

1

2

qE

m

t₀²，得第一次到达隔离层的时间为 t₀=

2my0 qE

圆周运动的周期T=

2πm

qB

第一次在磁场中做圆周运动时间为 t₁=

T

2

=

πm

qB

第二次穿越隔离层后到达最高点时间为 t₂=

v2

a

=k ²

2my0 qE

从开始到第三次穿越隔离层所用总时间
t=t₀+t₁+2t₂=（1+2 k²）

2y0m qE

+

πm

qB

（4）第三次穿越隔离层后的速度为v ₃=k ³

2qEy0 m

第二次在磁场中做圆周运动半径为R₂=

2k6mEy0 qB2

x₀=2R₁+2R₂=（ 2 k+2 k ³）

2mEy0 qB2

答：（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径为

2k2mEy0 qB2

．
（2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标y₁=k⁴y₀
（3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间为（1+2 k²）

2y0m qE

+

πm

qB

．
（4）P 点横坐标 x₀与纵坐标 y₀应满足的关系为：x₀=（ 2 k+2 k ³）

2mEy0 qB2

．