题目
题型:不详难度:来源:
答案
∴a2=λa1+λ2+2(2-λ)=λ2+4,
同理可得,a3=2λ3+8,
a4=3λ4+16,
猜想an=(n-1)λn+2n.
(Ⅱ)假设数列{an}是等比数列,
则a1,a2,a3也成等比数列,
∴a22=a1•a3⇒(λ2+4)2=2(2λ3+8)⇒λ4-4λ3+8λ2=0,
∵λ≠0,∴λ2-4λ+8=0,即(λ-2)2+4=0,
但(λ-2)2+4>0,矛盾,∴数列{an}不是等比数列.
(Ⅲ)∵λ=1,∴an=(n+1)+2n,
∴an-(n2+1)=2n-(n2-n+2),
∵当n=1,2,3时,2n=n2-n+2,
∴an=n2+1.
当n≥4时,猜想2n>n2-n+2,
证明如下:当n=4时,显然2k>k2-4+2
假设当n=k≥4时,猜想成立,即2k>k2-k+2,
则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(k2-k+2),
∵2(k2-k+2)-[(k+1)20-(k+1)+2]
=(k-1)(k-2)>0
∴2k+1>2(k2-k+2)>(k+1)2-(k+1)+2,
∴当n≥4时,猜想2n>n2-n+2成立,
∴当n≥4时,an>n2+1.
核心考点
试题【在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式(不必证明);(Ⅱ)证】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
2n-1 |
xn(
| ||
3
|
| ||
2(xn-1) |
(1)xn>2,且
xn+1 |
xn |
(2)如果a≤3,那么xn≤2+
1 |
2n-1 |
x+3 |
x+1 |
3 |
(Ⅰ)用数学归纳法证明bn≤
(
| ||
2n-1 |
(Ⅱ)证明Sn<
2
| ||
3 |
1 |
n2+n |
1 |
2n |
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….
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