题目
题型:重庆难度:来源:
1 |
n2+n |
1 |
2n |
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….
答案
①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),
那么ak+1=(1+
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k(k+1) |
1 |
2k |
根据(1)、(2)可知:ak≥2对所有n≥2成立.
(Ⅱ)由递推公式及(Ⅰ)的结论有an+1=(1+
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n2+n |
1 |
2n |
1 |
n2+n |
1 |
2n |
两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1+
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n2+n |
1 |
2n |
1 |
n2+n |
1 |
2n |
故lnan+1-lnan≤
1 |
n(n+1) |
1 |
2n |
上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤
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1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
(n-1)n |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n-1 |
=1-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
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n-1 |
1 |
n |
1 |
2 |
1-
| ||
1-
|
1 |
n |
1 |
2n |
即lnan<2,故an<e2(n≥1).
核心考点
试题【数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知(1-
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n+3 |
1 |
2 |
m |
n+3 |
1 |
2 |
(Ⅲ)求出满足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.
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2 |
(1)求a1,a2;
(2)证明an<an+1<2,n∈N.
当n=1时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=2时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=3时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=4时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
猜想一个一般性的结论,并加以证明.
1 |
n |
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(Ⅰ)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比较f(n)与1的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
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