题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.
(1)求数列{b_n}的通项公式b_n;
(2)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论

答案

（1）b_n=3n－2（2）当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1,当 0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1

解析

设数列{b_n}的公差为d,由题意得,∴b_n=3n－2
(2)证明：由b_n=3n－2知
 
S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)
=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］
而log_ab_n+1=log_a,于是，比较S_n与log_ab_n+1的大小比较(1+1)(1+)…
(1+)与的大小.
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (^*)
①当n=1时，已验证(^*)式成立.
②假设n=k(k≥1)时(^*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
则当n=k+1时，


,即当n=k+1时，(^*)式成立
由①②知，(^*)式对任意正整数n都成立.
于是，当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1,当 0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1