题目

题型：不详难度：来源：

已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，求m的最大值。

答案

m值等于36

解析

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1－(2k+7)·3^k
=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k
=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2(k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36