题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0。
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求实数k的最小值；
（3）证明：（n∈N*）。

答案

解：（1）函数的定义域为（-a，+∞），
求导函数可得 
令f′（x）=0，
可得x=1-a＞-a
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；
令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a时，函数取得极小值且为最小值
∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1。
（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx²，
即g（x）=x-ln（x+1）-kx²
求导函数可得g′（x）=
g′（x）=0，可得x₁=0，
①当k≥时，，
g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，
即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立；
②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，
因此g（x）在上单调递增，
因此取时，g（x₀）≥g（0）=0，即有f（x₀）≤kx₀²不成立；
综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），
有f（x）≤kx²成立，k的最小值为。
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，
在（2）中，取k=，得f（x）≤x²，
∴（i≥2，i∈N*）
∴=f（2）+
＜2-ln3+=2-ln3+1-＜2
综上，（n∈N*）。