题目

题型：安徽省月考题难度：来源：

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{}是等比数列；
（3）求证：（﹣1）+（﹣1）²x₂+（﹣1）³x₃+…+（﹣1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

答案

解：（1）过C：上一点A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线交C于另一点A_n+1，
则，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：．
（2）记，
则，
因为，
因此数列{}是等比数列．
（3）由（2）知：，．
①当n为偶数时有：（﹣1）^n﹣1 x_n﹣1+（﹣1）ⁿx_n=，
于是在n为偶数时有：．
②在n为奇数时，前n﹣1项为偶数项，
于是有：（﹣1）+（﹣1）²x₂++（﹣1）^n﹣1x_n﹣1+（﹣1）ⁿx_n
．
综合①②可知原不等式得证．