已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．

答案

证明：解法1 （分析法）要证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），（2分）
即证：a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²，（4分）
即证：2abcd≤a²d²+b²c²，（6分）
即证：0≤a²d²+b²c²-2abcd=（ad+bc）²，（8分）
上式明显成立．（10分）故（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）（12分）
解法2 （综合法）因为a²d²+b²c²≥2abcd（重要不等式）（3分）
所以（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd（6分）≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²（9分）=（a²+b²）（c²+d²）（12分）
解法3 （作差法）因为（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²（2分）=（a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+b²d²+2abcd）（5分）
=b²c²+a²d²-2abcd（8分）=（b²c²-a²d²）²≥0（10分）
所以（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．（12分）

核心考点

试题【已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．】；主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知a＞0，

＞1，求证：

1+a

＞

1-b

．

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选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知x，y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²；
（Ⅱ）已知a，b，c都是正实数，求证：a3+b3+c3≥

(a2+b2+c2)(a+b+c)．

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|AB|=|x_A-x_B|表示数轴上A，B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算．这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p（x，y）叫做x，y之间的距离：条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
试确定运算s(x，y)=

|x-y|

1+|x-y|

是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例．

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求证：（1）n≥0，试用分析法证明，

n+2

n+1

＜

n+1

，
（2）当a、b、c为正数时，（a+b+c）（

）≥9．
相等的非零实数．用反证法证明三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．

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求证：

＞2

．

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