题目

题型：不详难度：来源：

|AB|=|x_A-x_B|表示数轴上A，B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算．这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p（x，y）叫做x，y之间的距离：条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
试确定运算s(x，y)=

|x-y|

1+|x-y|

是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例．

答案

①s(x，y)=

|x-y|

1+|x-y|

≥0等号成立当且仅当|x-y|=0，即x=y，第一条满足
②s（x，y）=

|x-y|

1+|x-y|

=

|y-x|

1+|y-x|

=s（y，x），第二条也满足
③s（x，z）=

|x-z|

1+|x-z|

∵函数f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

（或

1

1 x +1

）在（0，+∞）上单调增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|
∴s（x，z）≤

|x-y|+|y-z|

1+|x-y|+|y-z|

=

|x-y|

1+|x-y|+|y-z|

+

|y-z|

1+|x-y|+|y-z|

≤

|x-y|

1+|x-y|

+

|y-z|

1+|y-z|

=s（x，y）+s（y，z），第三条也满足．
总之，s（x，y）是距离．