题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)令,讨论的单调性;
(Ⅱ)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;
(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”.设,,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(2)(3).
解析
试题分析:(I)直接求导,利用得到F(x)的单调增(减)区间;
(II)不等式的解集中的整数恰有3个,等价于恰有三个整数解,故,令,因为h(x)的一个零点区间为(0,1),
所以得到另一个零点一定在区间,故,问题到此得解.
(III)由(I)知可知F(x)的最小值为0,则f(x)与g(x)的图像在处有公共点.
如果f(x)与g(x)存在分界线,因为方程即,所以由题意可转化为在恒成立问题解决.
(Ⅰ)由得:
················· 1分
①当时,,则函数在上是单调递增;····· 3分
②当时,则当时,, 当时,
故函数在上是单调递减;在上是单调递增. ···· 5分
(Ⅱ)解法一:不等式的解集中的整数恰有3个,
等价于恰有三个整数解,故,
令,由且,
所以函数的一个零点在区间,
则另一个零点一定在区间,故 解之得.··· 9分
下面证明恒成立.
设,则.
所以当时,;当时,.
因此时取得最大值,则成立.
故所求“分界线”方程为:. …………14分
点评:本题综合性难度大,第(II)问的关键是构造之后,判定一个零点在区间(0,1),另一个零点,从而问题得解.
第(III)问关键是理解f(x)与g(x)存在分界线,因为方程即,题目可转化为在恒成立问题解决.
核心考点
试题【(本小题满分14分)设函数(),.(Ⅰ)令,讨论的单调性;(Ⅱ)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数,若存在】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.恒为负 | B.等于零 | C.恒为正 | D.不小于零 |
(1)是否存在实数使函数f(x)为奇函数?证明你的结论;
(2)用单调性定义证明:不论取任何实数,函数f(x)在其定义域上都是增函数;
(3)若函数f(x)为奇函数,解不等式.
(1)求函数的定义域;
(2)当0<a<1时,解关于x的不等式;
(3)当a>1,且x∈[0,1)时,总有恒成立,求实数m的取值范围.
A. | B. | C. | D. 0 |
(1)写出该物体的温度关于时间的函数关系式;
(2)该物体在10:00到14:00这段时间中(包括10:00和14:00),何时温度最高,并求出最高温度;
(3)如果规定一个函数在区间上的平均值为,求该物体在8:00到16:00这段时间内的平均温度.
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