题目
题型:不详难度:来源:
设函数,曲线在点处的切线方程.
(1)求的解析式,并判断函数的图像是否为中心对称图形?若是,请求其对称中心;否则说明理由。
(2)证明:曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
(3) 将函数的图象向左平移一个单位后与抛物线(为非0常数)的图象有几个交点?(说明理由)
答案
(2) 三角形的面积为定值
(3) 由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点
当时在R上为减函数(减函数至多有一个零点),
所以此时F(x)有且只有一个零点;
解析
试题分析:解:(1),
曲线在点处的切线方程为y=3,
于是 解得或
因,故.
,满足,所以是奇函数
所以,其图像是以原点(0,0)为中心的中心对称图形.
而函数的图像按向量平移,即得到函数的图像,
故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.
(2)证明:在曲线上任取一点. 由知,
过此点的切线方程为.
令得,切线与直线交点为.
令得,切线与直线交点为.
直线与直线的交点为.
从而所围三角形的面积为.
所以,所围三角形的面积为定值.
(3)将函数的图象向左平移一个单位后得到的函数为,
它与抛物线的交点个数等于方程=的解的个数
法一:
即 (解的个数,(易知0不是其解,不产生增根)
即 的零点(与x轴交点的横坐标)的个数
由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点 11分
当时在R上为减函数(减函数至多有一个零点),
所以此时F(x)有且只有一个零点;
点评:解决的关键是能结合导数的几何意义表示切线方程,进而分析函数的零点个数,需要对于a分类讨论得到,属于中档题。
核心考点
试题【(本小题满分12分)设函数,曲线在点处的切线方程.(1)求的解析式,并判断函数的图像是否为中心对称图形?若是,请求其对称中心;否则说明理由。(2)证明:曲线上任】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.一定是奇函数 | B.一定是偶函数 |
C.一定是奇函数 | D.一定是偶函数 |
已知函数是定义域为的奇函数,(1)求实数的值;(2)证明是上的单调函数;(3)若对于任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
①在上是减函数,在上是增函数;②是偶函数;
③在处的切线与直线垂直.
(1)求函数的解析式;
(2)设,求函数在上的最小值.
已知函数和的图象关于原点对称,且.
(1)求函数的解析式;
(2)若在[-1,1]上是增函数,求实数的取值范围
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