题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)试证:CD平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
答案
解析
(1)根据已知的条件,通过线线垂直来判定函数的线面垂直的证明。即由已知DF∥AB且DAD为直角,故ABFD是矩形,从而CDBF.
又PA底面ABCD,CDAD,故知CDPD.在△PDC中,E、F分别PC、CD的中点,故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF.
(2)建立合理的空间直角坐标系来表示空间向量的坐标,然后求解法向量,运用法向量的夹角来表示二面角的平面角的大小。
(Ⅰ)解法一:
(Ⅰ)证:由已知DF∥AB且DAD为直角,故ABFD是矩形,从而CDBF. ………..4分
又PA底面ABCD,CDAD,故知CDPD.在△PDC中,E、F分别PC、CD的中点,故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. ………..7分
(Ⅱ)连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,
则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中,过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角. ………..10分
设AB=a,则在△PAC中,有
BG=PA=ka.
以下计算GH,考察底面的平面图(如答(19)图2).连结GD.
因S△CBD=BD·GH=GB·OF.故GH=.
在△ABD中,因为AB=a,AD=2A,得BD=a
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH===因此tanEHG==………..12分
由k>0知是锐角,故要使>,必须>tan=
解之得,k的取值范围为k>………..14分
解法二:
(Ⅰ)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为:轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
·=0,故
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故
E.从而=. ·=0,故.由此得CD面BEF.
(Ⅱ)设E在xOy平面上的投影为G,过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA=k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0),则=(x-a,y-a,0),=(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同,故=,即2x+y=2a ②
由①②解得x=a,y=a,从而=,||=a.
tanEHG===.由k>0知,EHC是锐角,由EHC>得tanEHG>tan即
>故k的取值范围为k>
核心考点
试题【(本题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.(Ⅰ)试证:CD平】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
A.若,,则; |
B.若,,则; |
C.若,,,则; |
D.若,,,则. |
(Ⅰ)当时,求证://平面
(Ⅱ)若直线与所成角为,试求二面角的余弦值.
如图,已知,分别是正方形边、的中点,与交于点,、都垂直于平面,且, ,是线段上一动点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)试确定点的位置,使得平面;
(Ⅲ)当是中点时,求二面角的余弦值.
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