题目

题型：不详难度：来源：

如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.

(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；
(2)求二面角OOFE的正弦值．

答案

（1）（2）

解析

(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则
B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．
设F(x₀，y₀，0)(x₀>0，y₀>0)，且＋＝4，
则＝(x₀，y₀－1，－2)，＝(0，1，0)，
∵EF⊥DE，即⊥，则·＝y₀－1＝0，故y₀＝1.
∴F(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2，2)．
设异面直线EF与BD所成角为α，则cosα＝.
(2)设平面ODF的法向量为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，则
令x₁＝1，得y₁＝－，平面ODF的一个法向量为n₁＝(1，－，0)．
设平面DEF的法向量为n₂＝(x₂，y₂，z₂)，
同理可得平面DEF的一个法向量为n₂＝.
设二面角ODFE的平面角为β，则|cosβ|＝＝.
∴sinβ＝.