题目
题型:不详难度:来源:
(1)求的值;
(2)求证:;
(3)求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)求的值,关键是找在的位置,注意到平面,有线面平行的性质,可得,由已知为中点,由平面几何知识可得为中点,从而可得的值;(2)求证:,有图观察,用传统方法比较麻烦,而本题由于底面,所以,,又,这样建立空间坐标比较简单,故以为原点,以分别为轴,建立空间直角坐标系,取,可写出个点坐标,从而得向量的坐标,证即可;(3)求二面角的余弦值,由题意可得向量是平面的一个法向量,只需求出平面的一个法向量,可设平面的法向量,利用,即可求出平面的一个法向量,利用向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值.
(1)因为平面
又平面,平面平面,
所以. 3分
因为为中点,且侧面为平行四边形
所以为中点,所以. 4分
(2)因为底面,
所以,, 5分
又,
如图,以为原点建立空间直角坐标系,设,则由可得 6分
因为分别是的中点,
所以. 7分
. 8分
所以,
所以. 9分
(3)设平面的法向量,则
即 10分
令,则,所以. 11分
由已知可得平面的法向量 11分
所以 13分
由题意知二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为. 14分
核心考点
举一反三
(1)求四棱锥的体积;
(2)证明:;
(3)求面所成锐二面角的余弦值.
(1)求证:;
(2)若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.
(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(2)设E为BC的中点,求与夹角的余弦值.
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