题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(sinx，2cosx)，

b

=(5

3

cosx，sinx)，函数f(x)=

a

•

b

+|

a

|2+

3

2

.
（1）当x∈[

π

6

，

π

3

]时，求函数f（x）的值域；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

12

个单位后，再将所得图象上各点向下平移5个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的图象与直线x=

π

6

，x=

π

2

以及x轴所围成的封闭图形的面积．

答案

（1）∵

a

=(sinx，2cosx)，

b

=(5

3

cosx，cosx)，
∴f(x)=

a

•

b

+|

a

|2+

3

2

=5

3

cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x+

3

2

=

5 3

2

sin2x+5•

1+cos2x

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)≤1
∴

15

2

≤5sin(2x+

π

6

)+5≤10
即x∈[

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的值域为[

15

2

，10]
（2）由题意知，g(x)=5sin[2(x-

π

12

)+

π

6

]+5-5=5sin2xs=

∫

π 2 π 6

5sin2xdx=-

5

2

cos2x

∫

π 2 π 6

5=-

5

2

(cosπ-cos

π

3

)=

15

4

即面积为

15

4