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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2+mx+n(m∈R,n∈R).
(1)若n=1时,“至少存在一个实数x0,使f(x0)<0成立”(命题表示为∃x∈R,使f(x)<0成立)为假命题,求m的取值范围;
(2)命题P:函数y=f(x)在(0,1)上有两个不同的零点,命题Q:-2<m<0,0<n<1.试分析P是Q的什么条件,并说明理由.(是充要条件、充分不必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件)
答案
(1)“至少存在一个实数x0,使f(x0)<0成立”为假命题,则“∀x∈R,f(x)≥0恒成立”为真命题.所以f(x)=x2+mx+n≥0恒成立,
所以△=m2-4n≤0,n=1,m2≤4,-2≤m≤2;                             (7分)
(2)P是Q的充分不必要条件.
充分性:P:函数y=f(x)在(0,1)上有两个不同的零点,





m2-4n>0
0<-
m
2
<1
f(0)>0
f(1)>0
,则





m2>4n
-2<m<0
n>0

故4n<1,即0<n<1,所以P是Q的充分条件;                             (11分)
当-2<m<0,0<n<1时,
m=-
1
2
,n=
1
2
,则△=m2-4n<0

函数y=f(x)没有零点,
所以P是Q的不必要条件;
综上:P是Q的充分不必要条件.                                           (15分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+mx+n(m∈R,n∈R).(1)若n=1时,“至少存在一个实数x0,使f(x0)<0成立”(命题表示为∃x∈R,使f(x)<0成立)为】;主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知m、n为两条不同直线,α、β为两个不同平面,则下列命题中正确的是(  )
A.mn,m⊥α⇒n⊥αB.αβ,m⊂α,n⊂β⇒mn
C.m⊥α,m⊥n⇒nαD.m⊂α,n⊂α,mβ,nβ⇒αβ
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下列表示的关系中:①3
2
7
∉Q
;②{2}∈{x|x≥2};③-10∈{x|x=3k-1,k∈Z};④


2
∈R
;⑤∅⊊{x|x2-1=0},其中错误的个数为(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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给出下列四个命题:
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每5分钟从中抽取一件产品进行检测,这样的抽样是分层抽样;
②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度;
③回归直线
̂
y
=
̂
a
+
̂
b
x必过定点(
.
x
.
y
);
④在回归方程
̂
y
=2x+1中,当x每增加一个单位时,
̂
y
就增加2个单位.
其中正确命题的序号是(  )
A.②③④B.①③④C.②④D.①②③④
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下列命题中正确的是(  )
A.“若a=b,则ac=bc”的逆命题是真命题
B.命题“∃x0∈R,使得x02-x0>0”的否定是“∀x∈R,x2-x<0”
C.若点A(1,2),点B(-1,0),则


AB
=(2,2)
D.“a<5”是“a<3”的必要不充分条件
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已知命题p:关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为∅;命题q:函数y=(2a2-a)x为增函数,若p∧q为真命题,则实数a的取值范围是______.
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