题目

题型：不详难度：来源：

如图，设点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（不含各棱）的表面上，如果点P到棱CC₁与AB的距离相等，则称点P为“Γ点”给出下列四个结论：
①在四边形ABCD内不存在“Γ点”；
②在四边形ABCD内存在无穷多个“Γ点”；
③在四边形ABCD内存在有限个“Γ点”；
④在四边形CDD₁C₁内存在无穷多个“Γ点”
其中，所有正确的结论序号是______．

答案

因为CC₁与AB是异面直线，所以由正方体可知，BC是异面直线CC₁与AB的公垂线．因为CC₁⊥面ABCD，所以平面ABCD内点到直线CC₁的距离和到C的距离相等，因为点C是定点，AB是定直线，根据抛物线的定义可知，在四边形ABCD点P的轨迹是以C为焦点，以AB为准线的抛物线在ABCD内的部分，所以在四边形ABCD内存在无穷多个“Γ点”，所以②正确，所以①③错误．
设正方体的棱长为1，在四边形CDD₁C₁内点P到AB的最短距离为1，而在四边形CDD₁C₁内点P到CC₁的最大距离是1，而此时点P位于D处，
因为P不在棱上，所以在四边形CDD₁C₁内不存在“Γ点”，所以④错误．
故答案为：②．