题目
题型:不详难度:来源:
MN |
MF |
MG |
MG |
MN |
MF |
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由.
答案
由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中F(2,0)为焦点,
x=-2为准线,
所以轨迹方程为y2=8x;…(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得x1≠x2(否则α+β=π)且x1,x2≠0,
所以AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,
显然x1=
| ||
8 |
| ||
8 |
将y=kx+b与y2=8x消去x,得ky2-8y+8b=0,由韦达定理知y1+y2=
8 |
k |
8b |
k |
(i)当θ=
π |
2 |
π |
2 |
tanα•tanβ=1,
所以
y1 |
x1 |
y2 |
x2 |
| ||||
64 |
所以y1y2=64,由①知:
8b |
k |
因此直线AB的方程可表示为y=kx+8k,
即k(x+8)-y=0所以直线AB恒过定点(-8,0)…(8分)
(ii)当θ≠
π |
2 |
得tanθ=tan(α+β)=
tanα+tanβ |
1-tanαtanβ |
8(y1+y2) |
y1y2-64 |
将①式代入上式整理化简可得:tanθ=
8 |
b-8k |
所以b=
8 |
tanθ |
此时,直线AB的方程可表示为y=kx+
8 |
tanθ |
即k(x+8)-(y-
8 |
tanθ |
所以直线AB恒过定点(-8,
8 |
tanθ |
当θ=
π |
2 |
π |
2 |
AB恒过定点(-8,
8 |
tanθ |
核心考点
试题【已知直线的方向向量为及定点,动点满足,MN+MF=2MG,MG•(MN-MF)=0,其中点N在直线l上.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设A、B是轨迹C上异】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1).则动点M的轨迹是圆.
②椭圆
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
③双曲线
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
④已知抛物线y2=2px上两点A(x1,y1),B(x2,y2)且OA⊥OB(O为原点),则y1y2=-p2.
A.②③④ | B.①④ | C.①②③ | D.①③ |
A.一条线段 | B.椭圆的一部分 |
C.双曲线的一部分 | D.抛物线的一部分 |
OC |
OA |
OB |
(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设点C的轨迹与双曲线
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
a2 |
1 |
b2 |
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