（A题）已知点P是圆x2+y2=4上一动点，直线l是圆在P点处的切线，动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A（-1，0）和B（1，0），则抛物线焦点F的轨迹为（　 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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（A题）已知点P是圆x²+y²=4上一动点，直线l是圆在P点处的切线，动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A（-1，0）和B（1，0），则抛物线焦点F的轨迹为（　　）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

答案

如图所示，
过点A、B分别作AM⊥l，BN⊥l，垂直为M，N．
根据抛物线的定义可得：|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，
∴|AF|+|BF|=|AM|+|BN|．
连接OP，则OP⊥l，∴AM∥OP∥BN，
∵O是线段AB的中点，∴OP是梯形ABNM的中位线，
∴|AF|+|BF|=2|OP|=4＞2=|AB|，
∴根据椭圆的定义可得，点F的轨迹是以点A，B为焦点，2a=4为长轴长的椭圆．
故选B．

核心考点

试题【（A题）已知点P是圆x2+y2=4上一动点，直线l是圆在P点处的切线，动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A（-1，0）和B（1，0），则抛物线焦点F的轨迹为（　】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

（A题）如图，在椭圆

=1（a＞0）中，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，B，D分别为椭圆的左右顶点，A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点，直线AF₁交y轴于点E，且点F₁，F₂三等分线段BD．
（1）若四边形EBCF₂为平行四边形，求点C的坐标；
（2）设m=

S△AF1O

S△AEO

，n=

S△CF1O

S△CEO

，求m+n的取值范围．

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（B题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2

，离心率为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A（-1，1），过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为K_PM、K_PN，当KPM•KPN=-

时，则椭圆方程为（　　）

A．

B．

C．x2+

D．

+y2=1

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过椭圆C：

=1(a＞b＞0)的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点(-1，

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左、右顶点A、B，左、右焦点分别为F₁，F₂，P为以F₁F₂为直径的圆上异于F₁，F₂的动点，问

•

是否为定值，若是求出定值，不是说明理由？
（3）是否存在过点Q（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得|FD|=

|MN|（其中D为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由．

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已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为2

，且过点M(-

，

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点N(

，1)的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

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