题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.
答案
解析
试题分析:解:(Ⅰ)设椭圆C的半焦距是c.依题意,得c=1.
因为椭圆C的离心率为,
所以a=2c=2,b2=a2-c2=3. 2分
故椭圆C的方程为+=1. 3分
(Ⅱ)当MN⊥x轴时,显然y0=0. 4分
当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为
y=k(x-1)(k≠0). 5分
由
消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 6分
设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),
则x1+x2=.
所以x3==,y3=k(x3-1)=. 8分
线段MN的垂直平分线的方程为
y+=-.
在上述方程中,令x=0,得y0==. 9分
当k<0时,+4k≤-4;当k>0时, +4k≥4.
所以-≤y0<0或0<y0≤. 11分
综上,y0的取值范围是. 12分
点评:对于椭圆方程的求解主要是根据其性质满足的的a,b,c的关系式来解得,同时对于直线与椭圆的相交问题,一般采用联立方程组的思想,结合韦达定理和判别式来分析参数的范围等等,或者研究最值,属于中档题。
核心考点
试题【已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.5 | B.10 | C.20 | D. |
(1)若,试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为?并说明理由;
(2)若,且a>b,,试求曲线C的离心率e的取值范围。
A. | B.(1,2) | C. | D. |
抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且。
(1) 求抛物线方程;
(2) 在x轴上是否存在一点C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在,求出点C的坐标,若不存在,说明理由.
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