题目
题型:不详难度:来源:
OA |
OB |
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求d的最大值,并求d取得最大值时直线l的方程.
答案
由于抛物线C和圆O关于y轴对称,故点B的坐标为(-x1,y1).
∵
OA |
OB |
∴x1•(-x1)+y12=0,
即-x12+y12=0.
∵点A在抛物线C上,
∴x12=2py1.
∴-2py1+y12=0,即y1(-2p+y1)=0.
∵y1≠0,
∴y1=2p.
∴x1=-2p.
∴点A的坐标为(-2p,2p).
∵点A在圆O上,
∴(-2p)2+(2p)2=8,又p>0,解得p=1.
(Ⅱ)解法1:设直线l的方程为:y=kx+b,因为l是圆O的切线,则有
|k•0-0+b| | ||
|
2 |
又b>0,则b=2
2k2+2 |
即l的方程为:y=kx+2
2k2+2 |
联立
|
即y2-(2k2+4
2k2+2 |
设M(xM,yM),N(xN,yN),则yM+yN=2k2+4
2k2+2 |
如图,设抛物线C的焦点为F,准线为L,作MM1⊥L,NN1⊥L,垂足分别为M1,N1.
由抛物线的定义有:d=|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=yM+yN+1=2k2+4
2k2+2 |
令t=
2k2+2 |
∴d=t2+4t-1=(t+2)2-5.
又∵-1≤k≤1,
∴
2 |
∴当t=2时,d有最大值11.
当t=2时,k=±1,故直线l的方程为y=±x+4.
解法2:设直线l与圆O相切的切点坐标为(x0,y0),则切线l的方程为x0x+y0y=8.
由
|
设M(xM,yM),N(xN,yN),则yM+yN=
16y0+2
| ||
|
如图,设抛物线C的焦点为F,准线为L,作MM1⊥L,NN1⊥L,垂足分别为M1,N1.
由抛物线的定义有:d=|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=yM+yN+1=
16y0+2
| ||
|
∵x02=8-y02,d=
16y0+2(8-
| ||
|
16 | ||
|
16 |
y0 |
1 |
y0 |
1 |
2 |
∵2≤y0≤2
2 |
∴当y0=2时,d有最大值11.
当y0=2时,x0=±2,故直线l的方程为y=±x+4.
核心考点
试题【如图,已知抛物线C:x2=2py(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A、B两点,且OA•OB=0(O为坐标原点),直线l与圆O相切,切点在劣弧AB(含A、B两】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线的方程.
(2)求|AB|+|CD|的值.
MN |
NP |
MN |
MP |
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点,F(1,0),λ∈R,
FP1 |
FP2 |
1 | ||
|
1 | ||
|
x2 |
45 |
y2 |
20 |
(1)求动圆圆心M的轨迹C;
(2)过定点D(1,0)作直线l交轨迹C于A、B两点,E是D点关于坐标原点O的对称点,求证:∠AED=∠BED.
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