题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点S(,0)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T,若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解析
(Ⅱ)若直线l与x轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1,若直线l垂直于x轴,则以AB为直径的圆是(x+)2+y2=.网
由解得即两圆相切于点(1,0).网
因此所求的点T如果存在,只能是(1,0).…………(6分)网
事实上,点T(1,0)就是所求的点.证明如下:
当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(1,0).
若直线l不垂直于x轴,可设直线l:y=k(x+).网
由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.网
记点A(x1,y1),B(x2,y2),则…………(9分网)
又因为=(x1-1, y1), =(x2-1, y2),
·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)网
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1网
=(k2+1) +(k2-1) + +1=0,网
所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(1,0).
所以在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件. …………(13分)
核心考点
试题【(13分)已知椭圆C的中心在坐标原点,离心率,且其中一个焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆C的方程;(2)过点S(,0)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程
(2)点P(,0),A、B为椭圆C上的动点,当时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线与圆相交于两点,且,求椭圆方程;
(3)设点在椭圆C内部,若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于,求椭圆C的短轴长的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
已知动圆过点且与直线相切.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作一条直线交轨迹于两点,轨迹在两点处的切线相交于点,为线段的中点,求证:轴.
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