题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程；
（3）设点在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．

答案

（1）  
（2）
（3）2

解析

（1）由条件可知，
因为，所以得：                         …………4分
（2）由（1）可知，，所以，，
从而
半径为a，因为，所以，
可得：M到直线距离为
从而，求出，所以椭圆方程为：；       …………8分
（3）因为点N在椭圆内部，所以b>3                       …………9分
设椭圆上任意一点为，则
由条件可以整理得：对任意恒成立，
所以有：
或者
解之得： 2                       …………13分