已知A，B是抛物线x2=4y上两个动点，且直线AO与直线BO的倾斜角之和为π4，试证明直线AB过定点． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知A，B是抛物线x²=4y上两个动点，且直线AO与直线BO的倾斜角之和为

，试证明直线AB过定点．

答案

显然，直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=kx+m，
代入x²=4y，得：x²-4kx-4m=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：

x1+x2=4k

x1x2=-4m

设直线AO与直线BO的倾斜角分别为α，β，则α+β=

，
又tanα=

，tanβ=

，
所以，1=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

4(x1+x2)

16-x1x2

16k

16+4m

4+m

．
即m=4k-4，
直线AB的方程为y=kx+4k-4，即y+4=k（x+4），
所以，直线AB恒过定点（-4，-4）．

核心考点

试题【已知A，B是抛物线x2=4y上两个动点，且直线AO与直线BO的倾斜角之和为π4，试证明直线AB过定点．】；主要考察你对抛物线的几何性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A₁，B₁两点，Q是A₁B₁的中点，连AQ、BQ、FA₁，有下列命题：
①△AA₁F的垂心有可能在此抛物线；
②△AQB的外心有可能在此抛物线上；
③AQ、FA₁、x轴相交于一点；
④过A、B两点的抛物线的两条切线的交点在此抛物线的准线上
上述命题正确的有______（写出所有真命题的序号）

题型：吉安二模难度：| 查看答案

已知抛物线y=ax²的准线方程为y=-2，则实数a的值为______．

题型：牡丹江一模难度：| 查看答案

抛物线y=-2x²上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　）

A．

B．

C．-

D．-

题型：不详难度：| 查看答案

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），

|AF|

|BF|

=______．

题型：东城区一模难度：| 查看答案

抛物线C：y²=4x上一点Q到点B（4，1）与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为______．

题型：不详难度：| 查看答案

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