题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率e＞1+

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项？

答案

设在左支上存在P点，使|PF₁|²=|PF₂|•d，由双曲线的第二定义知

|PF1|

d

=

|PF2|

|PF1|

=e，即|PF₂|=e|PF₁|①
再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=

2a

e-1

，|PF₂|=

2ae

e-1

，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴

2a

e-1

+

2ae

e-1

≥2c．③
利用e=

c

a

，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-

2

≤e≤1+

2

．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+

2

与已知e＞1+

2

矛盾．
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．